陈省身先生的重要学术成就
今年是陈省身先生诞辰110周年，陈省身数学研究所举办了一系列的活动。白承铭所长邀请我作一场讲座，作为这次陈先生纪念活动的“收官之作”，给我布置了一篇命题作文，聊一聊陈先生在学术方面的成就。
陈省身先生一生对于世界数学、中国数学的发展所做出的突出贡献有目共睹，他在数学领域的地位自然也是举足轻重。在此，我首先想引用杨振宁先生的一首诗《赞陈氏级》：
“天衣岂无缝，匠心剪接成。
浑然归一体，广邃妙绝伦。
造化爱几何，四力纤维能。
千古寸心事，欧高黎嘉陈。”
“千古寸心事”来自杜甫的诗句“文章千古事，得失寸心知”，而“欧高黎嘉陈”则是赞颂陈先生的历史地位直追前面四位大几何学家，欧几里得、高斯、黎曼、嘉当。这也给了我们一个参照物，我想就顺着这一条线来谈谈陈先生所做出的贡献以及它们的历史地位。
“欧”指的是欧几里得，我们现在通常说到欧几里得，都是在说他的数学著作《几何原本》。实际上欧几里得的原文叫“Elements”，就是原本，囊括了当时的整个数学。里面有两个最重要的定理，一个是平面三角形的内角和等于180度；还有一个是素数的个数是无限的，是数论的。凑巧的是20世纪，中国的两位伟大数学家，一位是陈省身先生，一位是华罗庚先生，分别对几何和数论做出了巨大的贡献。
“欧”与“高”之间其实还有一个人叫笛卡尔，他引进的用坐标研究几何也是一个革命性的进展，但今天我们主要谈几何，对他就不过多赘述了。“高”就是高斯（Gauss），他做几何其实是五十岁左右做天文台台长的时候，做大地测量的时候做出来的。他把欧几里得平面三角形内角和定理推广到弯曲的（非平面的）曲面上的三角形上。后来Bonnet把这个公式推广到多边形以及边可以是任意曲线的这个情形，现在把这方面的推广叫Gauss-Bonnet定理。
Gauss-Bonnet定理在高斯之后得到进一步推广就要说到黎曼，黎曼是数论大家，他所提出的黎曼大猜测，目前是千禧年问题当中的第一个大问题，同时他也是函数论大家。而他对微分几何的贡献主要体现在当年他参加的一个教师资格考试，通过后就可以带自己的学生，相当于国内的博士生导师。在这篇很短的文章里，他引进了高维黎曼空间的概念，定义了高斯曲率在高维的推广，我们现在可以称为是黎曼曲率。黎曼的动机是来自于复变函数以及电磁学的理论。
黎曼提出了高维空间的概念，那么高维黎曼几何的发展需要对高维空间的对象有一个严格的描述，就是我们现在所谓的流形，第一个严格定义它的是Hermann Weyl。他写了一本书，叫《黎曼面的概念》，就是把黎曼局部的想法用到黎曼面，变成整体的，就相当于我们原来把局部曲面弄成闭曲面一样。我查阅了相关文献，这本书是1913年发表的，当时Weyl只有28岁，非常年轻。Weyl当然是不得了的人物，他也是规范场理论的先驱。
陈先生曾经写过一个通俗报告，叫《从三角形到流形》，把几何学划分成几个时代，一个叫“原始人”，就是指欧几里得几何；后来笛卡尔来了，有代数工具了，有工具可以做的叫“穿衣人”；后来出现了流形上的几何，就变成了“现代人”。那么进入20世纪，有了流形的概念，自然就要问，如何做一个现代人，也就是如何发展流形上的几何？
这里要谈到的代表人物就是Elie Cartan(嘉当)，也就是“欧高黎嘉陈”的“嘉”。嘉当的主要贡献有很多，其中有一个贡献，是将局部微积分的理论推广到流形上去，称为外微分演算。陈先生在德国读完博士，就选择去巴黎跟随嘉当做博士后，在巴黎待了一年，苦读嘉当的文章，得到了他的精髓。嘉当的文章是出了名的难读，连Hermann Weyl都认为嘉当的文章很难读。嘉当的论文集有三大卷，每卷都很厚，陈先生说他至少可以读到百分之七八十。所以前两天我就给学生说，你要做老师的好学生，先要把老师的重要著作读好。
数学发展到这一步，下一步的关键就是要将二维几何里面最重要的Gauss-Bonnet推广到高维。这其中就会碰到一个问题，要把高斯曲率的概念推广到高维，然后还要想办法证明想要的等式。第一个成功的是Allendoerfor和André Weil。André Weil是布尔巴基的创始人，20世纪最伟大的数学家之一，Allendoerfor是他的同事。他们所做的研究从某种意义上说，可以说已经完成了Gauss-Bonnet定理到高维的推广，但并不尽如人意，可谓是“知其然，不知其所以然”。
而这时陈省身先生彻底解决了这个问题，这也被他认为是自己一生中做出的最重要的工作。陈先生用了所谓的单位球面丛，每一点就取单位长的切向量，这个是跟流形本身相关的，不需要嵌入到另外的一个欧式空间去。本身任何一个黎曼流形，在每一点有个单位长的向量，就相当于你这头上有头发，你每一点这个头发就剪一个单位长的寸头，把这个拿出来就局部地变成一个单位球面丛。因为底下流形太难做，陈先生就把这个问题放到这个单位球面丛上做。陈先生历史上第一次把这个问题提到单位球面丛上去做，然后就把这个问题给解决了。这个思想就叫做transgression，是陈先生历史上第一个引进的。后来他的学生吴光磊给这个思想取名叫“超渡”，就是你在底下做不到，你就到上面去做，做完了以后再把问题拉回来，非常形象。而将超渡的思想应用到具体的技术，是陈先生从嘉当那里学到的外微分演算。从哲学角度讲，陈先生的这个工作是（最早体现在Gauss－Bonnet定理里面的）局部与整体之间的内在关联在高维情形的发扬光大。
后来在这个工作被继续推广的过程中，陈先生又定义了以他的名字命名的示性类Chern class。这个Chern class按陈先生自己所说，是他某个周末到图书馆去，突然来的灵感，这也许是大师谦虚的话，但Chern class所带来的影响有目共睹。例如它对于被誉为20世纪最重要数学定理之一的Atiyah－Singer指标定理、丘成桐获得菲尔兹奖的工作（即解决Calabi猜想）以及近期傅吉祥－丘成桐在非凯勒流形上的开创性工作，都起到了根本的作用。陈先生的数学贡献的基本重要性不言而喻。
除了Chern class，陈先生另外一个极具影响、开天辟地的工作，就是定义了Chern-Simons示性式。Chern-Simons在物理层面、代数几何层面都有着十分深远的影响，这里面最值得一提的就是Edward Witten。他提出所谓的Chern-Simons量子场论，用来研究纽结理论的Jones多项式，获得了数学中的最高奖，是目前唯一一个得到数学菲尔兹奖的物理学家。而Witten的这篇文章最早是发表在杨振宁先生和葛墨林院士编的这本书里面，后来才发表在CMP上，所以我们数学所也算是做出了一个间接性的贡献。
综上所述，杨振宁先生的名句“千古寸心事，欧高黎嘉陈”非常到位，陈省身先生在世界数学史上的地位毋庸置疑。
陈省身先生对中国数学的贡献
接下来我要谈谈陈先生对中国数学发展所做的贡献。1946年至1948年三年间，陈先生在上海的中研院数学所，培养了一批青年人才，当中最突出的当数吴文俊先生。
按陈先生自己回忆，中研院数学所成立之初是姜立夫先生任所长，姜先生赴美国后，陈先生任代理所长。他认为第一要务是要培养新人，所以他给各个著名大学的数学系发函，请他们推荐三年内最优秀的学生来，结果很多人响应，可见陈先生当时的威望已经是非常高了。
在吴文俊先生回忆陈先生的文章中写道，当初拓扑学是公认的难学，但是他跟陈先生第一年学完以后，就做出了拓扑学的文章，并且发表在Annals上。很多人都觉得不可思议，但他说这并不奇怪，正好说明陈先生善于指导（当然也说明吴先生才华横溢）。然后吴先生指出，凡事必须从根本做起，尽管陈先生的主要目标是大范围微分几何，但在中研院数学所的三年期间，对年轻人却没有讲，因为他要做更基础的东西，致力于代数拓扑方面的培养。吴先生还特别指出，中研院的数学所的三年，陈先生为我国培养了一批拓扑学的骨干，这是解放前对中国数学的贡献。
上世纪70年代陈先生回国后，提出了一系列建议帮助中国数学的进步。第一步就是促成青年数学家出国访问，1978年，陈先生亲自邀请中国科学院的王启明、彭家贵访问伯克利，打开了青年数学家赴美访问的先河。
后来国家决定推选50人出国，陈先生就推荐张恭庆到纽约，推荐姜伯驹到普林斯顿，最终是52人成行，是陈先生硬塞了两个进去。张恭庆先生、姜伯驹先生后来都成为中国数学界的领军人物。
彭家贵老师曾与我提起那次出国经历，当时两个年轻人第一次坐飞机出国，很是忐忑，但一下飞机就看见了陈先生来接他俩，心里的大石头一下子就落了地。或许是第一次有红色中国学者到访，当地媒体着实宣传了一番。后来陈先生还专门就此事写下手记：“一九七八年家贵九月来加州共做研究，盼为中国数学有意义之史实。”当然彭老师也没有辜负陈先生的培养，除了他自己做出了杰出的研究工作以外，他的学生唐梓洲获得了2020年度的发展中国家科学院（也就是原来的第三世界科学院）数学奖。我们可以把它看成是一个美丽的回声，回应了陈先生当初的创举。
第二步就是改革开放以后，连续7年，1980年到1986年，所谓的双微年（微分方程+微分几何年），请国外的一大批相关专家来和国内的同行交流，大大促进了国内微分几何和微分方程的发展。
陈先生当时请来的有菲尔兹奖的获得者Atiyah、Bombieri，沃尔夫奖获得者Bott、Griffiths，阿贝尔奖获得者Lax、Nirenberg，以及数学名家Singer、Kohn等等，国内作大会报告的有华罗庚华老、吴文俊先生和谷超豪先生。当时请来这些人并不是草草亮相做一个报告就完事了，Bombieri在这期间写下的文章有100多页，Bott的文章50页，陈先生自己的文章也多达100多页，都是很认真地在做贡献。
这里面我想提一下Nirenberg，他和陈先生关系很好，陈先生去世以后，国际数学联盟在国际数学家大会上设立陈省身奖章，Nirenberg是第一个获奖人。他对陈先生的回忆很有意思，他觉得和陈先生在一起做什么都是好的，就连跟陈先生一起在中国餐馆吃饭，都是一个美妙的经历。一个有名的故事是第一届双微会议期间，陈先生请包括Nirenberg在内的一批数学家去前门吃饭，Nirenberg说这辈子没吃过这么好吃的饭，念念不忘下个礼拜带着人又去吃，结果说我都吃的是一样的饭，点的是一样的菜吗？怎么菜的味道完全不一样。
陈先生自己对吃这件事也颇为得意，不否认自己是个“美食家”。当年我在伯克利数学所念博士后时，陈先生有一次跟我开玩笑说：“张伟平，数学，我不知道你能从我这里学到多少；吃，你要好好学学。”
陈省身先生在南开大学的创举
1984年8月，陈省身先生正式受聘为南开数学所所长。受聘仪式结束后，邓小平同志在人民大会堂宴请了陈先生，当时还有丁石孙先生、何东昌教育部长、陈师母以及胡国定先生。
胡先生我在这里要着重提一下，当年胡先生三顾茅庐到伯克利，请陈先生到南开来创办数学所，对于南开数学所的创立这两个人可谓是缺一不可，二人为南开数学所的创立通过书信来来回回进行了很多次交流。陈先生曾对胡先生说：“南开数学研究所有你推动，前途当无量，当对国家有重大贡献，如有可为之力，当尽力帮忙。”
后来陈先生亲自写了所名，吴大任提出、陈先生认可一起确定了办所方针是“立足南开、面向全国、放眼世界”。这就表示南开数学研究所不只是面向南开，是要对全国服务的。
在数学所的成立仪式上，这位已75岁的老人，请大家想象自己怀抱着仅仅一岁的“婴儿”，会是怎样一种心情。他说，“为中国数学、南开数学，我将鞠躬尽瘁，死而后已。”陈先生践行了自己的诺言。从1985年到1995年，在陈先生的推动下，南开数学研究所举行了12次意义深远的学术年活动。1987年，陈先生更是力邀杨振宁先生来南开建立理论物理研究室，实现了数学与物理的高度结合。
1988年8月，在21世纪中国数学展望会议上，陈省身提出了“中国在21世纪成为数学大国”的猜想，并争取到了一项专项基金，叫数学天元基金。会上北大的程民德老先生代表中国数学界作了《让中国数学率先赶上国际先进水平》的主题报告，里面提道，当代数学家陈省身教授多次提出，“只要大家努力，路子对头，那数学科学完全可以率先赶上世界先进水平”。程民德老先生表示，我们愿意看到陈先生的这一愿望变成现实。
谈到促进中国数学的进步与发展，就不得不提到数学界最重要的大会，国际数学家大会（ICM）。1993年陈先生和丘成桐先生一起提出在中国举办国际数学家大会(ICM)的建议。1998年在德国召开的国际数学联盟会议上，中国获得了主办权。2002年的国际数学家大会以第一次有国家最高领导人出席开幕式而载入史册。
我还记得2000年1月12日，陈师母在南开寓所去世，第二天，我去看陈先生，陈先生那时候眼泪还在眼眶里打转，心情十分悲痛，但他还是忍住不让眼泪掉下来。他说我现在就做好两件事，第一件是办好国际数学家大会，第二件事就是办好南开数学所。
陈先生独具匠心提出2000年10月在南开召开陈国才、周炜良纪念会。陈国才、周炜良都是中国最著名的数学家，在国际上具有崇高地位。
除国际数学联盟秘书长Griffiths作为会议代表出席之外，陈先生还邀请了动力系统学家、国际数学联盟主席Palis。在邀请信中，陈先生在最后写了一句，我和江主席是好朋友，其他没有多说。Palis看过信后，就来参加大会了。
在江泽民同志接见外宾时，Palis就代表国际数学联盟邀请他在开幕式上出席。江泽民同志说如果开幕式的时候他在北京，就一定出席会议。此次会见为国际数学家大会在北京的顺利召开铺平了道路，后面各个部门都为中国数学界开绿灯。从这件事情也可以看出陈先生的远见卓识。
陈先生是那次国际数学家大会的名誉主席，在2002年ICM会上致辞时，他最后说道：“孔夫子的儒家思想对中国有着两千多年的影响。其主要学说是‘仁’，从字形上看就是‘二人’的意思，也就是说要重视人际关系。现代科学具有高度竞争性。我想，如果注入人的因素，将会使我们这一门学科更加健康、更加有趣。”
如果从人的角度来考虑，“Chern class”就是“陈班”，涵盖陈先生一生培养出来的学生，以及学生的学生，等等。刘克峰有一个纪念陈先生的文章，题目就叫《我们都属于“陈类”》。
陈先生两个最著名的学生，大家都知道，一个是吴文俊，一个是丘成桐，这是“Chern class”两个最具代表性的人物。在南开实际上也有一个“Chern class”。侯自新老校长在天津日报上发了一篇纪念文章，里面就谈到这个南开数学试点班。试点班是国家教委批复的，实际上陈先生为帮助南开大学发展，一是成立数学所，同时建议成立数学试点班。陈先生是两个拳头同时并进的，不是说只办了数学所，也为数学教育、为南开的本科教育做了很大的贡献。
陈先生还曾为试点班亲自上课，注入了很多的心血。试点班也培养了一批人才，这里仅列举两位：一个是朱朝锋，现在在南开；一个是关启安，现在在北大。朱朝锋教授跟龙以明院士有一篇论文发表在顶尖杂志──《Annals of Mathematics》上，如果我没记错的话，这应该是改革开放以后在《Annals of Mathematics》上全部署名中国大陆单位的第一篇文章，一时传为美谈。
关启安教授是跟周向宇院士合作，他们在《Annals of Mathematics》发的文章解决了Demailly的一个所谓强开性猜想──“strong openness conjecture”。美国的《Mathematical Reviews》里面评论他们的工作是：近年来复分析和代数几何“交叉方面”最伟大的成就。习总书记在2016年的两院院士大会上讲话，里面提到中国的科学，当然数学排第一是肯定的，多复变函数论和其他一些科学突破一起，为我国成为一个有世界影响的大国奠定了重要基础。我想总书记这样说，不光是要表扬周向宇，也是表扬从华罗庚华老开始的，一代、几代科学家在多复变方面的传承。当然陈先生优秀的学生还有很多很多，在这里我就不一一列举了。
最后我要说的是我们数学所的这座大楼，大楼建成时被誉为国际数学界最好的数学大楼，可惜陈先生在世时没有看到。当年陈先生“逼”我做数学所的所长，我说我只做陈省身数学所的所长，我们都希望南开数学研究所可以更名为陈省身数学研究所，可陈先生就是不同意。
直到陈先生过世后，2005年9月27日，江泽民同志到天津的时候，要专门到南开数学所新楼（省身楼）来看一下。本来安排20分钟的活动，一直持续了40分钟，最后我们准备好了笔墨，想让江泽民同志给题个字，他说我累了，就签个名吧。眼看已经签完名了，我很着急。可能也是陈先生给我的勇气吧，我壮着胆子说：“主席，我们想请您写陈省身数学研究所呀。”江泽民同志说那我就落款“于陈省身数学研究所”吧。写到一半，反应过来这是想用他的字，就说：“今天是站着写的，不工整，我回去再写一份正式的来。”
后来数学所正式更名用的就是江泽民同志的题字。我觉得这可以算是我的人生一大成就，总算对得起陈先生了。如今，耸立在津河边上的省身楼看着特别漂亮。我对白承铭所长说，只要这个大楼在，这个所名在，不管世事沧桑、变化万千，我们的陈省身数学研究所，总有一天会再创辉煌，这个特别要靠在座年轻人的努力。
我们很高兴地看到，自陈先生1981年发表在《自然杂志》上的题为《对中国数学的展望》的文章以来，中国数学业已取得了巨大的进步。如《中国新闻周刊》今年4月报道的，所谓的数学“黄金一代”已经涌现。
“冬天到了，春天还会远吗”？相信在不久的将来，“中国成为数学大国、强国”的“陈省身猜想”一定会被解决，相信到时陈先生的在天之灵也会欣慰的。
“待到山花烂漫时、他在丛中笑”，愿我们的年轻人一起努力，为“陈省身猜想”的彻底解决做出自己的贡献。
